Las órbitas de Kepler y Sommerfeld.

Hablaba hace unos días con Juan Manuel Torres Merino acerca de su plática del pasado ciclo de conferencias, sobre las tres leyes de Kepler; me comentó una de las preguntas que le habían hecho al final acerca de por qué las órbitas planetarias eran elipses y de la relación entre las órbitas de la mecánica celeste y las de los electrones alrededor del núcleo atómico. ¿Y por qué no las órbitas de los electrones son elipses?

El asunto del cálculo de las órbitas es interesante y me enganché en el tema. Lo que le dije en ese momento fue lo siguiente: Primero lo más evidente; todo circulo es una elipse. La elipse es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de su distancia a dos puntos, llamados focos, es una constante. Esta propiedad la cumplen trivialmente los puntos de una circunferencia; en ese caso los dos focos coinciden con el centro del círculo y la suma de las distancias de cualquier punto de la circunferencia a los focos será 2 r, siendo r el radio del círculo, que obviamente es una constante.

Se me dirá que eso es “sólo matemáticamente”, pero que una “verdadera” elipse es aquella en la cual los dos focos no coinciden en el mismo sitio. Bueno, en realidad el círculo y la elipse son dos de las curvas llamadas cónicas. Las cónicas, se sabe, son las figuras que se forman por la intersección de un plano con un cono. Si el ángulo entre el plano y el eje del cono es de 90 grados la intesección es un círculo. Para otras inclinaciones la intersección es una elipse, una parábola o una hipérbola. Ests curvas tienen todas una ecuación de segundo grado que las representa y un parámetro llamado excentricidad que les es característico y que mide que tan alargadas son, comparando la distancia entre los dos focos con la longitud. En el caso del círculo como la distancia entre los dos focos es cero, la excentricidad sera cero. Es decir, que lo que llamamos de manera informal “verdadera” elipse, es una elipse de excentricidad distinta de cero. De hecho debe ser menor que uno, puesto que los dos focos quedan dentro de la curva.

En el caso de las órbitas planetarias, estás se obtienen de una ley inversa del cuadrado. Cuando se integran las ecuaciones de movimiento de una ley inversa del cuadrado para conocer la órbita ( r en función de ɵ) se obtiene una cónica cuya excentricidad estará relacionada con los valores de las constantes de integración, como la energía del sistema.

Solo serán órbitas cerradas (círculos o elipses) aquellas que corresponden a valores negativos de la energía. Ahora bien, dada una órbita cerrada, ¿Para que valores de la energía la excentricidad vale cero? Esa es, reformulada, la pregunta que le hiceron a Juan Manuel, pues la excentricidad cero equivale a decir que es un círculo.

Examinando la expresión para la excentricidad, que se obtiene de la integración de las ecuaciones de movimiento, vemos que la respuesta es que la energía total debe ser un medio de la energía potencial o lo que es lo mismo que la fuerza de atracción debe estar equilibrada exactamente por por la centríguga.

Para valores negativos de la energía, diferentes de ese valor, la órbita será cerrada pero no será un círculo sino una elipse. Si el valor de la energía es cero la órbita (no cerrada) será una parábola y para valores de la energía positivos se tratará de una hipérbola.

La segunda parte de la pregunta referente a por qué las órbitas de los electrones no son elipses, es más complicada pues en realidad se trata de fenómenos cuánticos y no de mecánica clásica. Cierto que Bohr postuló un modelo planetario para el átomo de Hidrógeno, pero ese modelo sólo funcionó para el átomo de Hidrógeno. Sin embargo me parece recordar de mis cursos de física moderna en la facultad de Ciencias, que Sommerfeld mejoró el modelo de Bohr introduciendo órbitas elípticas. El problema, ya se sabe, es que en el caso atómico, no todas las energías están permitidas, sino que estan cuantizadas y que por lo tanto tampoco todas las órbitas son posibles. Adicionalmente, como el electrón tiene carga, al girar se acelera y por lo tanto debe radiar ondas electromagnéticas (efecto bremsstrahlung), lo que obliga a pensar en un modelo atómico más formal, que la analogía planetaria de Bohr.

La respuesta corta a la segunda pregunta es: sí hay órbitas elípticas para los electrones, al menos en la propuesta de Sommerfeld. La respuesta larga es que el modelo cuántico es más complicado que el simil planetario y que en rigor los electrones no son punto de carga girando alrededor del núcleo, aunque a veces esa imagen proporciona resultados “correctos” en el sentido de que coinciden con el de un cálculo cuántico formal, como el del momento magnético, por ejemplo.

Con esto termino mi reseña de los comentarios que le hice a Juan Manuel sobre la pregunta que recibió durante su exposición. Es obvio que las leyes de Kepler no son tema de investigación (salvo histórica), pero quizas es interesante que los profesores de física encontremos los espacios y los tiempos para hablar de ellas y enriquecer así nuestro ejercicio docente.