- Informe sobre las cartas enviadas a Suemi, solicitándole una entrevista
- Presentación de la propuesta de estatutos, para su revisión
- Formalización de la afiliación al colegio y firma de acta constitutiva
- Asuntos generales.
Ahora sí el texto del Dr. José Antonio Pérez, a quien le agradezco su colaboración con el blog. José Antonio trabaja en la Universidad Autónoma de Zacatecas en tópicos de teoría de categorías y álgebras. También dedica parte de su talento y energía a la divulagación de las matemáticas. Tarea que realiza bastante bien. Aquí su texto sobre una famosa paradoja de lógica:
Palabras mágicas*
Juan Antonio Pérez
La magia de la lengua
es el hechizo más peligroso.
EDWARD GEORGE BULWER LYTTON
Para escribir sobre Ciencia tomaré hoy como pretexto el capítulo LI de la obra de Miguel de Cervantes El ingenioso caballero don Quijote de la Mancha publicado por vez primera en 1615, diez años después de la más conocida El ingenioso hidalgo don Quijote de la Mancha publicado en 1605. En esta obra que erróneamente se conoce como la segunda parte del Quijote se encuentra un pasaje interesante, en el que Sancho Panza es víctima de su inocencia y del malvado ingenio de los hospederos de él y de don Alonso Quijano: el caballero don Quijote.
En el pasaje de referencia Sancho es nombrado gobernador de una pequeño territorio conocido como la Ínsula Barataria, cuyo nombre debería ser suficiente par a que el buen Sancho sospechase de la generosidad del misterioso duque cuyo nombre nunca se revela en la obra. Poco después de que tomase posesión de su cargo y se hiciera presente en la ínsula, un forastero cuenta a Sancho de unas tierras cruzadas por un caudaloso río, sobre el cual se tendía un puente, en uno de cuyos extremos se encontraba amenazadora una, dispuesta para cumplir con una peculiar ley impuesta por el dueño del río, del puente y del señorío: Si alguno pasare por esta puente de una parte a otra, ha de jurar primero adónde y a qué va; y si jurare verdad, déjenle pasar; y si dijere mentira, muera por ello ahorcado en la horca que allí se muestra, sin remisión alguna.
Un cuerpo de jueces era encargado de dictar la suerte de cada persona que cruzase el puente. Continuando con su relato el forastero, cuenta acerca de un andante que declara que va a morir en la horca que se encuentra en el extremo opuesto, lo que coloca a los jueces del puente en un verdadero predicamento: Si a este hombre le dejamos pasar libremente, mintió en su juramento, y, conforme a la ley, debe morir; y si le ahorcamos, él juró que iba a morir en aquella horca, y, habiendo jurado verdad, por la misma ley debe ser libre.
El forastero dice a sancho que los jueces del puente, quienes se encuentran aún indecisos, esperan por su consejo para determinar la suerte del hombre ingenioso aquel. Sancho, conciente de los escasos alcances de su inteligencia declara a su interlocutor: Por cierto que esos señores jueces que a mí os envían lo pudieran haber excusado, porque yo soy un hombre que tengo más de mostrenco que de agudo; pero, con todo eso, repetidme otra vez el negocio de modo que yo lo entienda: quizá podría ser que diese en el hito.
Después de un interesante intercambio de razonamientos entre Sancho y su visitante, el escudero de don Quijote recuerda uno de los consejos que su buen amo le diera previo a la toma de posesión: … que cuando la justicia estuviese en duda, me decantase y acogiese a la misericordia; y ha querido Dios que agora se me acordase, por venir en este caso como de molde.
El consejo de Sancho, producto de la sabiduría de su amo, resulta ser entonces la aplicación de uno de los principios jurídicos más nobles: in dubio pro reo. Resuelve el dilema de los jueces, pero deja aún pendiente la solución del enigma lógico, admitiendo de forma tácita que tal solución, en realidad no existe.
Y en efecto, por lo que hace a las Matemáticas no estamos en posibilidad de encontrar una salida satisfactoria. El acertijo tiene, a la luz de la teoría de los conjuntos de Cantor un defecto en su formulación, ya que la declaración del pasajero admite la posibilidad de calificarse a sí misma. El fenómeno es el mismo que ocurre con frases como: esta frase es falsa, ya que si es falsa es verdadera y si es verdadera es falsa.
Uno de los axiomas de la teoría de los conjuntos de Cantor es el llamado principio de regularidad que afirma básicamente que un conjunto no puede ser elemento de sí mismo. El principio de regularidad y fue formulado luego de una aguda observación de Bertand Russell en 1901, muy temprano en la vida de la Teoría de los conjuntos. El dilema planteado se conoce como la paradoja de Russell.
No basta definir algo para que se produzca su existencia, ni aún en matemáticas, en donde los objetos son abstractos. La existencia de los objetos matemáticos depende de algo más que la voluntad y el intelecto humanos, su existencia en realidad queda determinada por los dictados de la Naturaleza.
Russell propone considerar el conjunto M de todos los conjuntos que no se pertenecen a sí mismos. Si M se pertenece a sí mismo, entonces M no es elemento de M. Si por otra parte M no se pertenece a sí mismo, entonces M debe pertenecer a M. No es suficiente hablar de una colección para que sea un conjunto, la colección de los conjuntos que no se pertenecen así mismos no es un conjunto de acuerdo con el axioma de regularidad.
Otra de las embarazosas situaciones que presentan similitudes es la paradoja del barbero, que puede enunciar como sigue:
En un lejano poblado de un antiguo emirato había un barbero llamado As-Samet diestro en afeitar cabezas y barbas, maestro en escamondar pies y en poner sanguijuelas. Un día el emir se dio cuenta de la falta de barberos en el emirato, y ordenó que los barberos sólo afeitaran a aquellas personas que no pudieran hacerlo por sí mismas. Cierto día el emir llamó a As-Samet para que lo afeitara y él le contó sus angustias:
En mi pueblo soy el único barbero. Si me afeito, entonces puedo afeitarme por mí mismo, por lo tanto no debería afeitarme el barbero de mi pueblo ¡que soy yo! Pero, si por el contrario no me afeito, entonces algún barbero me debe afeitar, ¡pero yo soy el único barbero de allí!
El emir pensó que sus pensamientos eran tan profundos, que lo premió con la mano de la más virtuosa de sus hijas. Así, el barbero As-Samet vivió para siempre feliz.”
Como en el caso de la horca tras el puente, los aspectos lógicos del problema quedan sin resolver, aunque seguramente el futuro del barbero ha quedado resuelto. Nuevamente el problema lo encontramos en la construcción: por regularidad un conjunto no debe pertenecerse a sí mismo, y ninguna proposición debe calificar su propio valor de verdad.
Los objetos matemáticos son definitiva e inevitablemente abstractos, por fortuna. El hecho de que no sean materiales o concretos facilita su manipulación, y esta manipulación es provechosa, siempre que sea cuidadosa y respete escrupulosamente las propiedades de tales objetos, siguiendo sí los dictados de la humana intuición pero sin que ella sea la guía única.
La naturaleza abstracta de las Matemáticas ha servido como pretexto a filósofos como el mexicano Arturo Rosenblueth y el francés Claude Allégre para construir argumentos cuya conclusión niega toda cientificidad a la Matemática. De acuerdo con las ideas de estos pensadores, los objetos matemáticos tienen sentido únicamente si tienen conexión directa e inmediata con objetos de estudio de las llamadas “ciencias verdaderas” y tienen el cometido de acudir en su auxilio. Por razonable que parezca posición semejante, sus consecuencias resultan desastrosaza para el aprendizaje matemático, desarticulan la posibilidad de aprender primero y desarrollar después ideas, conceptos y hechos matemáticos.
* Publicado el miércoles 4 de noviembre de 2009.
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