Nada más práctico.

Este texto es continuación de otro publicado en este mismo blog, el que se llama Camello Virtual. Si no lo has leído, haz clic aquí para que puedas seguir los comentarios que hago sobre él, en este post.

Empezaré por comentar el párrafo final de la solución del problema, el que dice: “La sabiduría es práctica, lo que no sucede con la erudición. La cultura es abstracta, la sabiduría es terrenal; la erudición son palabras y la sabiduría es experiencia."

No estoy muy seguro de entender eso de que la cultura es abstracta y la sabiduría terrenal, pero puestos en el contexto de la solución del problema, parece querer decir que “para que tanto brinco estando el suelo tan parejo”. Sugiere que no hace falta tanto análisis, sino que basta con un poco de sentido común para darse cuenta de que prestándoles un camello el problema se resuelve, pero eso no es más que una particularidad que aplica para esos números.

Me pregunto qué habría hecho el sabio del pueblo si el hombre muerto hubiera dejado en herencia no 17 camellos sino 15. La solución “práctica”  de prestar un camello no habría funcionado. No siempre que se agrega uno,  a un número no divisible entre tres factores, se obtiene un número que si lo sea.

De hecho me sorprende que las personas que se maravillan con la historia de los 17 camellos no se pregunten qué habría pasado si se tratara de otro número de camellos.

¿Existen otros números como el 18 y el 17 que divididos por una tercia de números como el 2, 3 y 9  se comporten como ellos, en el caso del problema de los 17 camellos?

Dicho de otra manera, ¿existen números P₁, P₂ y P₃   tales que

N = P₁ P₃

Y que:

 1/ P₁  +1/ P₂  + 1/ P₃  = P₂ X (N-1) / N?

(Estas son la mismas relaciones que tenemos para N= 18 y con P₁ = 2, P₁ = 3 y P₃ = 9 :

18= 2X9

1 / 2 + 1/3 + 1/9 = (27 + 28 + 6)/ 54 = 51/54 = (3X17)/ (3X18)= 17/18)

Si hacemos el álgebra del quebrado llegamos a la siguiente relación entre P_1, P₂  y P₃:

P₂ P₃ + P₁ P₃ + P₁ P₂ = P₁ P₂ P₃ - P₁

En esta ecuación hay tres incógnitas, por lo tanto podemos fijar el valor de una de ellas para obtener una relación entre las otras dos.

En el problema original, de los 17 camellos,  la mitad de la herencia es para uno de los hijos, podemos entonces fijar P₁ como 2.

Al hacerlo obtenemos la siguiente relación entre P₂ y P₃:

P₃= 3P₂ / (P₂-2)

Obviamente P₂ tiene que ser mayor que 2 para que P₃ sea un número positivo y para que sea entero, no puede ser mayor que 8. 

Con lo cual sólo existen cuatro posibilidades, P₂= 3, P₂= 4,  P₂= 5 o P₂= 8

La primera posibilidad lleva a P₃= 3 y  N = 18 Es el caso del problema original. La segunda posibilidad lleva a P₃= 6 y N = 12, P₂= 5 implica P₃= 5 y N = 10 y finalmente P₂= 8 da  P₃= 4 con N = 16  

Las soluciones P₂= 4 y  P₂= 5, son las que se mencionaron al final del texto del camello virtual.

¿Existen otras soluciones?

No, si una de las partes ha de heredar la mitad. Recordemos que el valor de P₁= 2 se fijó arbitrariamente.

Dando otros valores a P₁ es posible obtener otras relaciones para P₃ en función de P₂, que lleven probablemente a otras soluciones

Así es como procede el pensamiento matemático; buscando la generalización del problema y planteando la pregunta de bajo qué condiciones existen soluciones al problema y sus generalizaciones.

Por eso, ante la contraposición entre práctica y teoría que parece sugerirse en la manera de presentar la historia de los camellos,  vale la pena recordar la frase, que he oído como atribuida a Max Planck: No hay nada más práctico que una buena teoría.