Nada más práctico.

Este texto es continuación de otro publicado en este mismo blog, el que se llama Camello Virtual. Si no lo has leído, haz clic aquí para que puedas seguir los comentarios que hago sobre él, en este post.

Empezaré por comentar el párrafo final de la solución del problema, el que dice: “La sabiduría es práctica, lo que no sucede con la erudición. La cultura es abstracta, la sabiduría es terrenal; la erudición son palabras y la sabiduría es experiencia."

No estoy muy seguro de entender eso de que la cultura es abstracta y la sabiduría terrenal, pero puestos en el contexto de la solución del problema, parece querer decir que “para que tanto brinco estando el suelo tan parejo”. Sugiere que no hace falta tanto análisis, sino que basta con un poco de sentido común para darse cuenta de que prestándoles un camello el problema se resuelve, pero eso no es más que una particularidad que aplica para esos números.

Me pregunto qué habría hecho el sabio del pueblo si el hombre muerto hubiera dejado en herencia no 17 camellos sino 15. La solución “práctica”  de prestar un camello no habría funcionado. No siempre que se agrega uno,  a un número no divisible entre tres factores, se obtiene un número que si lo sea.

De hecho me sorprende que las personas que se maravillan con la historia de los 17 camellos no se pregunten qué habría pasado si se tratara de otro número de camellos.

¿Existen otros números como el 18 y el 17 que divididos por una tercia de números como el 2, 3 y 9  se comporten como ellos, en el caso del problema de los 17 camellos?

Dicho de otra manera, ¿existen números P₁, P₂ y P₃   tales que

N = P₁ P₃

Y que:

 1/ P₁  +1/ P₂  + 1/ P₃  = P₂ X (N-1) / N?

(Estas son la mismas relaciones que tenemos para N= 18 y con P₁ = 2, P₁ = 3 y P₃ = 9 :

18= 2X9

1 / 2 + 1/3 + 1/9 = (27 + 28 + 6)/ 54 = 51/54 = (3X17)/ (3X18)= 17/18)

Si hacemos el álgebra del quebrado llegamos a la siguiente relación entre P_1, P₂  y P₃:

P₂ P₃ + P₁ P₃ + P₁ P₂ = P₁ P₂ P₃ - P₁

En esta ecuación hay tres incógnitas, por lo tanto podemos fijar el valor de una de ellas para obtener una relación entre las otras dos.

En el problema original, de los 17 camellos,  la mitad de la herencia es para uno de los hijos, podemos entonces fijar P₁ como 2.

Al hacerlo obtenemos la siguiente relación entre P₂ y P₃:

P₃= 3P₂ / (P₂-2)

Obviamente P₂ tiene que ser mayor que 2 para que P₃ sea un número positivo y para que sea entero, no puede ser mayor que 8. 

Con lo cual sólo existen cuatro posibilidades, P₂= 3, P₂= 4,  P₂= 5 o P₂= 8

La primera posibilidad lleva a P₃= 3 y  N = 18 Es el caso del problema original. La segunda posibilidad lleva a P₃= 6 y N = 12, P₂= 5 implica P₃= 5 y N = 10 y finalmente P₂= 8 da  P₃= 4 con N = 16  

Las soluciones P₂= 4 y  P₂= 5, son las que se mencionaron al final del texto del camello virtual.

¿Existen otras soluciones?

No, si una de las partes ha de heredar la mitad. Recordemos que el valor de P₁= 2 se fijó arbitrariamente.

Dando otros valores a P₁ es posible obtener otras relaciones para P₃ en función de P₂, que lleven probablemente a otras soluciones

Así es como procede el pensamiento matemático; buscando la generalización del problema y planteando la pregunta de bajo qué condiciones existen soluciones al problema y sus generalizaciones.

Por eso, ante la contraposición entre práctica y teoría que parece sugerirse en la manera de presentar la historia de los camellos,  vale la pena recordar la frase, que he oído como atribuida a Max Planck: No hay nada más práctico que una buena teoría.

El camello virtual.

Me escribe mi amigo el Doctor Guzmán Peredo para compartir conmigo una historia de matemáticas que le resultó interesante. La historia es la siguiente:

Un hombre que tenía 17 camellos y 3 hijos, murió.

Cuando el testamento fue leído, decía que la mitad de los camellos sería para el hijo mayor, un tercio para el segundo y un noveno para el tercero.

¿Qué hacer?

Eran diecisiete camellos; ¿Cómo dar la mitad al hermano mayor?

Uno de los animales debería ser cortado a la mitad.

Eso no resolvería nada, porque un tercio sería dado al segundo hijo. Y la novena parte al tercero.

Los hijos corrieron a buscar al hombre más erudito de la ciudad, un matemático.

El razonó mucho y no consiguió la solución, aunque era un buen matemático.

Alguien sugirió: "Es mejor buscar a alguien que sepa de camellos, no de matemáticas".

Encontraron entonces a hombre sabio y con mucha experiencia.

Le contaron el problema.

El hombre se rio y dijo: "Muy fácil, no se preocupen".

Al sabio, le habían regalado un camello. Se los prestó a los herederos para hacer las cuentas.

Con los 18 camellos, procedió a hacer la división. Nueve fueron dados al primer hijo, que quedó satisfecho. Al segundo le tocó la tercera parte - seis camellos - y al tercero le fueron dados dos camellos - la novena parte. Al concluir el reparto sobró un camello, el que fue prestado y devuelto al sabio.

Esta historia -menciona el texto que me envía, el Doctor Guzmán-  fue adaptada del libro "Palabras de fuego", de Rajneesh y sirve para ilustrar la diferencia entre la sabiduría y la erudición. El texto concluye diciendo: "La sabiduría es práctica, lo que no sucede con la erudición. La cultura es abstracta  la sabiduría es terrenal; la erudición son palabras y la sabiduría es experiencia."

El problema es ingenioso, pero  no comparto ni la reflexión del párrafo anterior  -sobre la que haré un comentario en mi próximo post-  ni la afirmación de que el “hombre más erudito de la ciudad, un matemático (…) razonó mucho y no consiguió la solución”. Cualquier matemático –mediano, ya no digamos bueno- hubiera dado con la solución.  Quiero compartir con los lectores del blog, parte de lo que pensé al disfrutar el problema.

La solución, que propone el sabio, sorprende a primera vista. La razón es  que aparentemente con sólo ver el problema desde otro ángulo (agregar y restar un camello es algo que puede hacerse aún sin que exista el camello realmente) se logra cumplir la voluntad del fallecido, sin terminar en una carnicería de camellos. 

  

Pero si examinamos con más detalle el asunto vemos que 1/2+1/3+1/9 suma 17/18 es decir que en el testamento no se estipula el destino de 1/18 de los camellos.

Lo que logra la estratagema del sabio del pueblo es distribuir ese diezochoavo de la herencia (17/18) de camello -no asignado en el testamento- entre los herederos, lo que evita que tengan que sacrificar a ningún animal.

En estricto sentido la voluntad del testamentario no se cumplió cabalmente, pero todo sea con tal de no derramar sangre inocente.

Otra manera de abordar el problema es distribuir la herencia por turnos, cumpliendo la voluntad del fallecido, pero “redondeando” el número de camellos hacía el entero inferior, excepto cuando sobre un camello, en cuyo caso se asignará el camello restante al hijo en turno de heredar.

Con este método, al primer hijo le corresponde, en el primer turno,  la mitad de 17, (8.5),  que se redondeada a 8. Al segundo la tercera parte de 17, (5.66..), que se redondea a 5 y el tercero la novena parte de 17, (1.88..), que se redondea a 1.

Al final de serie de repartos, se han asignado 8+5+1 = 14 camellos y sobran aún tres, que se pueden repartir, en una segunda tanda. Con la misma lógica, al primer heredero le tocan ahora 3/2 = 1.5 es decir le corresponde otro camello. Al segundo 3/3 = 1 y al último de los hijos, el último de los camellos que sobran.  

Al final del reparto el heredero número uno se quedó con 7+1 = 8 camellos, el segundo con 5+1= 6 y el tercero con 1+1= 2

Mediante este mecanismo se obtiene la misma solución del sabio del pueblo. Es menos apantallante porque no hay un camello que aparece y desaparece y es más “difícil” de entender, pero ¿a poco no la hubiera podido encontrar el matemático del pueblo?

Seguramente la hubiera encontrado, pero además como buen matemático se hubiera puesto a pensar en las propiedades del 17, del 18 y sus factores primos que permiten esta aparente paradoja. Se habría preguntado si existen otros casos semejantes.

En todo caso, yo sí me lo pregunté y lo que encontré, es lo que les compartiré en el siguiente texto, el día de mañana.

Baste por ahora decir que agregar un camello más también resuelve el problema si el padre tiene 9 camellos y decide heredarlos en fracciones de 1/ 2, 1/5 y 1/ 5 respectivamente a sus tres hijos. En ese caso 10/2 + 10/5 + 10/5 = 5+2+2=9 y el camello restante se devuelve.  

Igualmente funciona el préstamo de camello si la herencia es de 11 camellos para repartirse entre tres herederos en las relaciones de 1/2, 1/4 y 1/6. Ahora el camello “prestado” convierte el total a repartir en doce y 12/2 +12/4 +12/6 = 6 + 3 + 2 = 11.

Como en los dos casos anteriores, el camello prestado se devuelve y todos contentos.

En el próximo post, mis comentarios.