El lenguaje de las matemáticas.

Las matemáticas son un lenguaje, las ecuaciones son sus frases. Como en todos los lenguajes, existen frases bellas, incluso artísticas y otras barrocas, pretenciosas y también falsas.

Como otros lenguajes, las matemáticas pueden usarse para comunicar o simplemente por placer estético. También en este idioma hay virtuosos y analfabetas. En él se escriben y comunican las leyes de la naturaleza.

Las ecuaciones expresan un equilibrio entre los términos que están de un lado y otro del igual. Por ejemplo que la edad de Pedro es el doble de la de su hermano Juan puede escribirse X=2Y (siendo X la edad de Pedro y Y la edad de Juan).

En esa ecuación hay dos incógnitas, para poder determinar su valor necesitamos una segunda ecuación; por ejemplo que la edades de ambos suman 45 años, lo que se escribe: X+Y =45

De ahí se sigue, casi sin problema, que Y=15 y X= 30.

Lo mismo que en cualquier otro idioma, conocerlo no implica la capacidad de expresarse creativamente en él. No todos quienes hablan español, por ejemplo, son capaces de escribir una novela. Para eso, además de conocer el idioma hacen falta imaginación y conocimientos del tema del que hablará la novela.

Por ejemplo una de las más famosas leyes de la física, la segunda ley de Newton se puede escribir como el equilibrio entre las fuerzas que actúan sobre un cuerpo y la aceleración que producen. Escrita simbólicamente esta ley se ve así:

∑ f = ma

Y se lee: La suma de las fuerzas (que actúan sobre un cuerpo) es igual al producto de su masa por la aceleración.

Para que una frase tenga sentido (nos diga “algo”) es necesario que conozcamos el significado de las palabras que la integran. En este caso necesitamos saber qué es una fuerza, qué es la masa y qué es la aceleración.

Me detendré en este último concepto porque se vincula con un concepto muy general: el de cambio.

La aceleración mide que tan rápido cambia la velocidad. Es decir su tasa de cambio. La velocidad a su vez mide que tan rápido cambia la posición. A los matemáticos (o quizás sea a los físicos) les gusta llamarle “derivada” a la tasa de cambio. Así entonces la velocidad es la derivada de la posición y la aceleración es la derivada de la velocidad. Lo que de pasadita, acotamos, es lo mismo que decir que la aceleración es la segunda derivada de la posición. Simbólicamente:

∑ f = md²X/dt²

 
Cuando en una ecuación aparecen derivadas, la ecuación recibe el apellido de diferencial. La segunda ley de Newton es una ecuación diferencial. Cuando se resuelve una ecuación diferencial se determina cuál es la función que asegura la identidad entre ambos lados del igual.

Para resolver la ecuación de la segunda ley, que representa una enorme cantidad de casos posibles, incluyendo el movimiento de los fluidos, es necesario precisar cuál caso queremos resolver. Una vez más: no basta con conocer la sintaxis del idioma, hay que conocer el vocabulario.

Pensemos en una sola fuerza, la de gravedad (mg) actuando sobre una esfera de masa m. La ecuación se escribe entonces:

mg=m(d²X/dt²)

Resolver la ecuación es determinar cuál es la función X(t) que derivada dos veces es una constante de valor g. Para conocer el valor de una función, sabiendo el de su derivada, lo que hay que hacer es integrarla. En este caso para conocer X hay que integrar dos veces.

Al integrar la primera vez obtenemos la velocidad como función del tiempo y al integrar la segunda vez obtenemos el valor de X, la posición.

Les ahorro los detalles de la integración y proporciono el resultado:

X(t)=1/2 gt² + V₀t + X₀

Esto se lee más o menos así: La posición que ocupa un cuerpo en el tiempo t es el producto de la mitad de la aceleración de la gravedad por el tiempo al cuadrado más el producto de la velocidad inicial por el tiempo más la posición inicial.

La posición y la velocidad iniciales son los valores que tenían estas variables en el instante inicial.  Si el objeto parte del reposo desde el origen, entonces V₀ y X₀ valen ambos cero.

Más allá de los detalles y del lenguaje que puede resultar un poco complicado, para lo que sirve el ejemplo anterior es para entender que:

•     Las matemáticas permiten expresar las leyes de la naturaleza
•      Estas leyes expresan mediante ecuaciones diferenciales la manera como varia una función
•       Resolver la ecuación diferencial implica poder integrarla
•        El resultado de la integración tiene constantes cuyos valores se deben determinar de las condiciones iniciales del fenómeno que se estudia.

Esta es la manera como a partir de un modelo teórico es posible conocer la evolución de un fenómeno. El modelo teórico es la segunda ley de Newton escrita en la forma de una ecuación diferencial. El fenómeno que evoluciona es la posición del objeto que se mueve.  

Lo que queremos hacer ahora es averiguar la manera de escribir el modelo de propagación del virus en forma de ecuaciones diferenciales, pero eso va a requerir al menos de otros dos posts.