Un viejo amor.

El fin de semana del 9 de enero, hacía frío en la Ciudad de México. Yo me había comprometido para asistir al Octavo taller internacional de Teoría de categorías aplicadas y al taller de divulgación de las matemáticas. La sede del evento era la Universidad Autónoma de Nayarit y las pláticas de teoría de categorías se desarrollarían en el hotel paraiso miramar, a una decena de kilómetros de San Blas.

No obstante que la ida a la costa prometía una alternativa favorable al clima del altiplano, dudaba en asistir. Tenía demasiadas cosas que atender en la ciudad, sin embargo me había comprometido a hablar de la generación aleatoria de música y tenía ganas de aprender algo acerca de la teoría de categorías, así que me decidí a dejar el mal tiempo en la capital y emprendía el viaje a Vallarta. No me arrepentí.

La carrera de matemáticas, al menos en el plan de estudio de los años setenta tenía la mitad de sus asignaturas como obligatorias y la mitad como optativas, de manera que cada estudiante podía construir su propia orientación. Los físicos estudiabamos, como parte de la carrera todas las asignaturas obligatorias del plan de estudio de matemáticas, pero algunas de las materias más interesantes no las llevabamos, porque cursabamos las de física. Por ejemplo no llevabamos Álgebra lineal II, ni Álgebra moderna, ni Análisis (sí cuatro cursos de cálculo), tampoco topología.

Para mi, la topología se acababa en la historia de Euler y los siete puentes de Königsberg. Para quienes no lo recuerden o no lo conozcan, el problema de los puentes es el siguiente: El rio que cruza la ciudad de Königsberg, esta cruzado por siete puentes, se trata de saber si es posible realizar un recorrido que empiece y termine en el mismo sitio habiendo cruzado todos los puentes una y sólo una vez. El problema es parecido al de la “firma del diablo” que consiste en trazar un rectángulo con un par de diagonales y unos arcos sobre cada uno de sus lados, de un solo trazo, si separar el lápiz del papel. Leonard Euler resolvió el problema de los puentes analizando un diagrama en el que se conservaba la “forma geométrica” de los puentes y el rio, aunque no la relación entre sus distancias.

Es decir un circuito en el plano de la ciudad se transformaba en un circuito en el diagrama, pero no en una línea recta o en una gráfica con forma de ocho. La rama de las matemáticas que estudia ese tipo de transformaciones donde lo que se preserva son las formas (realciones entre puntos y líneas, que los unen), y en donde las distancias no importan ( a diferencia de lo que ocurre en los espacios métricos, por ejemplo) se llama topolgia.

Desde luego los físicos estudiábamos ese tipo de transformaciones, aunque no en curso particular, sino en sus aplicaciones. Por ejemplo en la asignatura de variable compleja; en la que la multiplicación equivale a una rotación. Me explico un poco mejor: Los números complejos se grafican en un sistema de coordenadas en el que los números reales, están en el eje x y los imaginarios en el eje y. El número real uno, tien coordenas (1,0), es decir vale uno en el eje de los reales y cero en el de los imaginarios, el número imaginario i (la raíz cuadada de -1) tiene coordenadas (0, 1) es decir vale 0 en el eje de los reales y 1 en el de los imaginarios, si multiplicamos 1 por i, obtenemos i, es decir (0, 1) se transforma en (1,0), la multiplicación, entonces, resultó en una rotación de noventa grados.

Los físicos veíamos estos temas de manera más general, al estudiar las transformaciones de coordenadas, que ocurren como la multiplicación de una matriz por un vector.... ¿Qué dijo?

A lo mejor en este momento alguien que todavía venía leyendo, se esta preguntando qué es eso de la multiplicación de un vector por una matriz. No lo voy a detallar, en atención a los escasos lectores del blog, porque no interesa para lo que quiero exponer. Lo que en realidad importa es darnos cuenta de que existen conjuntos de objetos que se pueden multiplicar y que no son números como los que conocemos la mayoría, los llamados números reales. En el ejemplo que acabo de citar, esos objetos, que se pueden multiplicar, son los vectores, pero pueden ser otros objetos matemáticos.

De lo que se trata es de estudiar las propiedades de estos conjuntos en los que se ha definido una operación. Estamos muy acostumbrados que la multiplicación en el cojunto de los números reales es conmutativa, es decir que no importa el orden de los productos: a por b es lo mismo que b por a, sin embargo si pensamos en un conjunto de objetos geométricos y definimos la operación girarlos un ángulo, veremos que no es lo mismo girar primero el objeto 90 grados alrededor de un eje vertical y luego otros 90 grados alrededor de uno horizontal. Podríamos decir que es un poco lo que pasa con las palabras cuando decimos un matemático pobre, que no es un pobre matemático (bueno, a veces).

El matemático francés Evaristo Galois, figura romántica del periodo de la revolución francesa, desarrolló el estudio de este tipo de estructuras algebraicas en los que se define una operación sobre un conjunto de elementpos, para tratar de encontrar la solución de la ecuación de quinto grado. Los trabajos de Galois condujeron al desarrollo de lo que conocemos hoy como teoría de grupos. Por cierto que una muy interesante biografía novelada de Galois, puede lerse en el libro “El elegido de los Dioses” De Leopold Infeld. Infeld fue un matemático que trabajó con Albert Einstein en la formulación matemática de sus ideas físicas.

En los siglo XIX y XX, el estudio de los grupos dio origen a otras estructuras, como las álgebras, los grupoides, los semigrupos. A su vez las álgebras se subdividen en álgebras de Clifford, de Lie, de Grassman, de Hopf..., que en el fondo son todas conjuntos en los que se define una operación, la diferencia está en las propiedades que tiene esa operación, si es conmiutativa o no, popr ejemplo.

Una de las estructuras más generales y a partir de la cual se pueden obtener las otras, como casos particulares, es lo que se llama una Categoria. Una Categoria, para los matemáticos, es un conjuntpo de objetos ligados por flechas (operaciones), que tienen dos propiedades: asociatividad: a*(b*c) = (a*b)*c y la existencia de una “flecha” que transforma cada elemento del conjunto en él mismo, es decir una flecha “identidad”.

De estos temas se trató en el taller. La primera plática a la que assití, ocurrió el sábado por la tarde, el ruido del mar llegaba hasta el salón de conferencias. Jerzy Kocyk de la Universidad de la Southern Illinois University, habló de las “Ventanas de Apolonio”, estructuras que se forman a partir de conjuntos de círculos tangentes entre ellos. Nunca había oído hablar del asunto. La exposición me fue cautivando poco a poco y me concentré de tal manera, que olvidé donde estábamos, no fue sino al salir a cenar, que la presencia del mar, me volvió a la “realidad” del mundo.

Me gustaría escribir algo sobre estas estructuras, pero ya no hay espacio. Seguramente lo haré para la reedición del libro de “Para Conversar de Ciencia”. Diré nada más, antes de concluir, que conocí personas muy interesantes entre nacionales y extranjeros. Entrre los nacionales el Doctor Juan Antonio Perez de la Universidad Autónoma de Zacatecas, de quien aprendí, además de algunos conceptos de las categorías, que las mafias no son exclusivas de la FESC, su caso es realmente una injusticia flagrante.

Conocí también a Adan Ruben Rodríguez Dominguez, de la Universidad Autónoma de San Luis Potosí, quien me sorprendió por que conocía el caso Iamaleev. Tambien entre los mexicanos la Dra. Lilia María del Riego de quien me perdí las clases de Topolgía, por tener que volver al DF.

Entre los extranjeros: Jerzy Kocyk de quien ya hablé, Larissa Sbitneva de la Universidad Autonoma del Estado de Morelos, interesada en la enseñanza de las matemáticas, Fernando Izaurieta, chileno estudioso de las superálgebras y Micho Durdevich, del Instituto de matemáticas de la UNAM y que estuvo en la FES Cuautitlan, algun tiempo. Todas personas muy interesantes.

Es de mínima justicia mencionar que el taller fue posible gracias a los esfuerzos de Zbigniew Oziewicz.

Finalmente quedé contento de haber dejado de lado un rato las obligaciones en la ciudad de México y haber ido al taller a reencontrarme con un viejo amor, mi viejo amor a las matemáticas, que como dice la canción: “ni se olvida ni se deja”.