La ecuación más probable

No siempre es necesario plantear y resolver una ecuación diferencial para conocer la evolución de un fenómeno en el tiempo.

Por ejemplo la tabla que está a la izquierda son datos experimentales de la posición X(t) de un objeto que cae bajo la acción la gravedad, medida en cada instante t.  

El objeto al empezar a caer desde el origen lleva una velocidad inicial de 18 m/s 

¿Será posible a partir de los datos de la tabla determinar una fórmula para calcular X, conociendo el valor de t?

La buena noticia es que sí. La mala es que se puede hacer de muchas maneras; se puede proponer una línea recta, un polinomio de segundo o mayor grado, una exponencial, etc.

El método para hacerlo se conoce como mínimos cuadrados. Su nombre se debe a que se busca una curva que minimice la distancia entre ella y los puntos experimentales.

La medida de la distancia entre los puntos y la curva la da la suma de los cuadrados de las diferencias del valor predicho por la curva y el valor experimental. Se usan los cuadrados para evitar que diferencias positivas y negativas se cancelen entre ellas.

Los datos de la tabla adjunta pueden representarse en una gráfica como la que se muestra a continuación:

 

Podemos hacer un ajuste estadístico para calcular la recta que mejor representa los datos o el polinomios de segundo grado o tercero o la exponencial. Después podremos decidir de entre esas “mejores” representaciones cual es la más conveniente.

En la figura siguiente se han dibujado sobre los valores de los puntos experimentales las ecuaciones que representan la mejor aproximación por polinomios de primero y segundo grado.

La ecuación de la recta que mejor ajusta los puntos es:

X(t) = 186. 35 t – 1009.8

con un coeficiente de correlación R² =0.9459

Si queremos la parábola que mejor ajusta, encontramos:

X(t) =4.5497t²+18.01t+0.2632

con un coeficiente de correlación R² = 1 

Conviene en este momento recordar que el coeficiente de correlación es una medida de que tan bueno es el ajuste, mientras más cerca está de 1, mejor es.

Por lo que si bien estadísticamente ambos ajustes son la mejor representación de los puntos, cada uno para ese tipo de curvas, en el caso de la recta el coeficiente de correlación al cuadrado es 0.9459 y en el de la parábola es 1.

Por lo tanto el ajuste por una parábola es mejor.

Esto no es de extrañar pues sabemos a partir del modelo teórico que la ecuación que describe el movimiento de un objeto que cae bajo la atracción de la gravedad es:  

X(t)=1/2gt²+v₀t+x₀

Eso es lo que explica el post anterior.

Con esta información, es posible ahora dar una interpretación a las constantes de la ecuación que nos proporciono el método de los mínimos cuadrados, comparando con la ecuación teórica:

1/2g debe ser igual a 4.5497, o lo que es lo mismo obtenemos una aproximación experimental de 9.0994, al valor de g.  Para la velocidad inicial V₀ se obtiene un valor de 18.01 y para la posición inicial de 0.2632.

Dentro de los márgenes de error experimentales estos datos son consistentes con lo que habíamos mencionado un objeto cayendo bajo la acción de la gravedad y que en el instante inicial se encontraba en el origen, moviéndose con una velocidad de 18 m/s.

Ahora podemos volver a ocuparnos de buscar una función que describa el número de infectados cada día. Para eso tomamos los datos de número de infectados por día y los graficamos. Lo que obtenemos es lo siguiente:

  

Sobre los puntos se han dibujado dos curvas de ajuste estadístico, una de ellas exponencial y la otra una parábola.

La ecuación para el mejor ajuste exponencial es:

 I(t) = 14.569e^0.2348t
Con un coeficiente de correlación

R² = 0.9601

La ecuación para el mejor ajuste mediante una parábola es:

I(t) = 3.7898t² - 25.681t + 68.511
Con coeficiente de correlación:

R² = 0.9932

La ecuación que mejor representa estadísticamente los datos es entonces la de la parábola. Podemos usar esta ecuación para calcular que tan rápido está creciendo el día de hoy el número de infectados. Para eso calculamos la tasa de cambio (la derivada):

dI(t)/dt = 7.5796 t - 25.681

y la evaluamos en el punto t=20.

Si lo hacemos obtenemos que el día de hoy el número de infectados está creciendo a una tasa de 125.911 infectados por día.

Como aclaración final, hay que decir que el hecho de que sea la parábola la que mejor ajusta estadísticamente a los datos no quiere decir que esa sea la forma de la función que surja de un modelo construido con base en la relación de la velocidad de propagación del número de infectados con los diferentes parámetros del problema.  

Pero de eso podremos seguir hablando en otro post.